数学って何の役に立つの？学校では教えてくれない数学の興味深い歴史 (数学学習で欠けている重要な授業を補う)

20 歳で博士号を取得した数学の天才が古代と現代を旅し、歴史を形成し人生を変える数学の力を体験します。数学の歴史を隅々まで知り、数学を学ぶ基本的な理由を理解し、一生続く数学の知識を獲得します。

製品の特徴

編集者の選択

★ほとんどの人が数学を嫌いになるのは、数学そのものが原因ではなく、なぜ数学を学ばなければならないのかが分からないからです。天才数学者が中学数学が始まる前に最も大切な数学啓発授業をお届けします。

★計算を行わず物語だけを語る簡潔な数学史。すべての式や計算を放棄し、歴史的な文章を使用して、数学がどこから来たのか、何に使われているのかを説明します。

★社会生活の背後にある数理論理学への視点。私たちの日常生活では、ナビゲーション ソフトウェア、短いビデオの視聴、天気予報はすべて数学的アルゴリズムによってサポートされています。数学は単なる抽象的な学問ではなく、多様な世界の舞台を演出します。

★数学の性質を理解しなければ、私たちの知識は不完全になります。数学の究極の使い方は、複雑さをシンプルに変える思考法であり、論理的能力、問題解決能力を養い、分析能力と意思決定能力を向上させることができます。

簡単な紹介

数千年前、メソポタミアの住民が数字を使い始めて以来、数学は歴史の発展において止められない力となってきました。
現在、私たちは日常生活で数学を使用しなくなっているように見えますが、実際には数学があらゆる場所に存在します。さまざまな Web サイトのプッシュ通知、電車の時刻表、検索エンジン、コンピューター、飛行機の自動運転、さらにはコーヒーマシンに至るまで、すべて隠れた数学に依存しています。計算。
数学は生活のあらゆるところで見られ、数学について、そしてそれが私たちの生活にどのような影響を与えるかを理解することがますます重要になっています。数学的計算の背後にある原理を知らなければ、私たちの知識は不完全であることがわかります。
この本は次の質問に答えます: 数字がなければ人生はどうなるでしょうか?全員がポイントを理解する必要がありますか?不確実性をどう乗り越えるのか?数学はがんをより効果的に治療するのに役立つでしょうか?この本では、天才数学者スティーブン・ボイスマンが数学を哲学、心理学、歴史と結び付けて、数学の世界の美しさを万人向けに説明しています。
この本は「2018年オランダのノンフィクション本トップ10」に選ばれました。

著者について

スティーブン・ボイスマン：20歳で博士号を取得した数学の魔術師。
1995年生まれ。彼はオランダのライデン大学で学部時代にコンピューター サイエンスと哲学を学びました。
18歳で哲学の修士号を取得。わずか 1 年半で、彼は 20 歳でスウェーデンのストックホルム大学で博士号を取得しました。現在は数理哲学の分野で研究に従事。
彼の著書には、『アルキメデスのコーヒー: 世界をよりよく理解するための数学の理解』『賢くなる人工知能: スクリーンの裏側』『数学: 数学を使って髭を剃らずに行う方法』などがあります。

目次

はじめに 1
第 1 章 私たちの周りの数学 5
動画サイトからのおすすめ 9
数学はどこにでもある 12
第 2 章 哲学から切り離された数学 15
数学を大きな物語として扱う19
美の価値21
第 3 章 数学なしで生きていくことは可能ですか? 29
ピラハン31から遠く離れた島で
採寸不要！ 35
少量対応 37
私もよくわかりません！頭脳と大きな数字40
幾何学的形状を認識 - ニワトリでもできる 45
数学は何か余分なものをもたらしますか? 49
第 4 章 数学が文明を動かす 50
粘土板の数学 51
メソポタミアのレッスン 55
エジプトのパン、ビール、そして数字の「59」
いつも理論について話すギリシャ人 65
実践漢数学69
第 5 章 唯一変わらないのは変化 - 微積分の力 74
ニュートン VS ライプニッツ78
ますます小さなステップ 80
歩数を数える 84
天気ほど気まぐれなものはない87
建築、政策立案、物理学における微積分学 89
誰もが微積分を必要としますか? 94
第 6 章: 不確実性を克服する — 確率と統計の概要 97
数学ゲーム 98
コインを投げる 102
トーマス 105 が 2 個
それらはすべてゲームですか？実践数学 109
さらに多くのデータ！ 112
ジョン・スノーは何を発見しましたか? 114
ニコラス・ケイジと117人の溺死死者数
誤報？統計で世界を歪める 119
全員にいちいち尋ねる必要はありません 123
第 7 章 すべては「描写」可能 - グラフ理論を理解する 128
一方通行131
インターネットの旅 138
動画推奨の基礎となるロジック 142
数学を使用してがんをより効果的に治療する 143
Facebook、友情、人工知能 145
舞台裏画像 149
第 8 章 数学の究極の使い方 152
数学の間違い 154
これはすべて偶然でしょうか？ 155
数学は役立つ158
私たちの日常生活でも同じことが当てはまります160

序文

導入
過去に戻りましょう。私は暗い表情で数学の先生を見た。電子黒板には一連の数式が書かれ、曲線とそれと交差する数本の直線で絵が描かれた。数学を勉強している他の中学生と同じように、私もこれらの方程式やグラフの意味を理解する必要がありました。なぜ？個人的には、天文学を勉強したいからです。当時私が知らなかったことは、私はその主題を学ぶにはあまりにもせっかちだったということです。しかし、もし私がその時知っていたらどうだったでしょうか？そして、私の最後の専攻では計算がほとんど必要なかったことを知っていますか?次に、Google を開いて次の質問を入力します。「数学は何に使われますか?」
Google から返された最初の結果はオランダの日刊紙の記事でした。ピタゴラスの定理とピザの切り方について書かれていました。非常に具体的でしたが、数学の使用法のほんの一部しか説明していませんでした。数学がなければ、この質問に対する答えを Google で検索することさえできず、質問と関係のない記事しか見つけることができなかったでしょう。 Google のような検索エンジンは、数学に依存して機能する必要があります。私は単にバイナリを使用するコンピュータについて話しているのではなく、Google は数学の賢い分野を利用して、私の質問に対する貴重な答えを見つけました。 Google 創設者のサーゲイ ブリンとラリー ペイジが 1998 年にこの方法を考案するまでは、検索ボックスに「ビル クリントン」と入力しても、彼の写真とジョークしか表示されませんでした。 Yahoo で「Yahoo」を検索すると、その用語自体がトップ 10 にも表示されません。幸いなことに、今では状況は変わりました。その点は数学のおかげです。
しかし、中学生の頃の私と同じ思いをしている人は今でもたくさんいます。彼らにとって数学とは、ほとんど理解できない書き込みや方程式がぎっしり詰まった黒板であり、学校を卒業したら二度と必要になることはありません。非常に多くの人が数学が一見理解不能で役に立たないと感じているのも不思議ではありません。しかし、真実はまったく逆です。数学は現代社会において非常に重要な役割を果たしており、方程式を超えて考察する限り、実際には私たちが通常考えているほど理解するのは難しくありません。 Google が私たちに代わって情報を選択する方法は、数学が私たちの日常生活にプラスとマイナスの両方でどれだけ影響を与えているかを示しています。 Google、Facebook、Twitter などのデジタル サービスは、人々の既存の意見や信念を強化する可能性があります。今日、フェイクニュースを頻繁に目にするため、これらのサービスの運用方法のせいで、避けるのは困難です。フェイクニュースと戦う方法を学ぶためには、まずインターネットサービスがどのように私たちの意見を強化するのか、そしてその運営方法を変えることがなぜそれほど難しいのかを理解する必要があります。
この本では、数学がどれほど役立つかを示したいと思います。今では、私は数学についてさらに深く理解できるようになりました。ある意味、この本は子どもの頃の私のために書かれたものですが、同時に、以前の私のように、数学の計算が難しくて役に立たないと感じている人たちにも向けて書かれています。そして、幸運だと感じている人のためにも書かれています。彼は数学とは何の関係もないということ。私は数学の哲学者であり、数学がどのように機能するか、そして数学をどのように学ぶかについてよく考えているため、仕事で数学を使用するかどうかに関係なく、それが私たち全員に関連していることを知っています。数学は方程式だけではありません。そのため、この本には方程式がほとんどありません。特定の問題を解決したい場合、方程式は確かに便利ですが、数学の背後にある考え方から気をそらしてしまうことがよくあります。この本では、数学が多くの人が思っているほど無関係で理解できないものではないことを示すために、数学のいくつかの分野とその背後にある考え方を紹介します。これらの分野での応用は驚くべきものであり、特に方程式を忘れることができれば誰でも簡単に理解できます。たとえば、グラフ理論は、Google などの検索エンジンで検索結果をランク付けしたり、がん患者が特定の治療法にどのように反応するかを予測したり、大都市の交通の流れを研究したりするために使用できます。
同じことは、統計や微積分など、本書で取り上げる現代数学の他の分野にも当てはまります。その背後にある考え方は驚くほどシンプルで、学校で学ぶときに想像するよりもはるかに役立つことがよくあります。私たちはほぼ毎日、犯罪、経済、政治、その他の分野のデータを含む統計情報をニュースで目にしています。多くの場合、データが何を意味し、どこから来たのかが正確にはわかりません。 1世紀前には、人々は誤解を招く統計の危険性について警告していました。意味あり。これらの警告は今日さらに重要になっています。
グラフ理論と同様に、微積分はさまざまな応用を可能にするので便利です。そして私たちもそれに気づいていません。産業革命以来、人々は微積分を利用して蒸気機関の効率を高めたり、車の自動運転を実現したり、超高層ビルを建設したりしてきました。歴史を変えた数学分野があるとすれば、それは微積分です。しかし、数学の現代における多くの応用について詳しく説明する前に、まずその起源に戻る必要があります。これは、複雑な歴史的結論を探したり、古代の賢人や学者を調査したりすることではなく、むしろ人類の歴史そのものを調査することを意味します。私たちはそれぞれ、さまざまな数学的スキルを持って生まれており、数学の授業を受けていなくても、それに依存して生きていくことができます。しかし、歴史は、人々が大きな集団で生活する場合、これらの生来のスキルではもはや十分ではないことを教えてくれます。社会がある程度発展すると、社会が大きくなりすぎて数学なしではうまく機能しなくなるため、算術や幾何学に目を向けなければなりません。数学が発達せずに生き残った文明もありますが、社会規模は決して大きくなく、町も発展しませんでした。
コミュニティを組織し、安全を確保するために住宅やその他の構造物を建設し、食料供給を規制するなど、これらのことをうまく行うには抽象数学が必要です。数学は実際的な問題をより単純にし、私たちの周りの世界をより扱いやすくします。
数学は何の役に立つのでしょうか？この質問は数学の実際の応用について尋ねているだけでなく、何よりも哲学についても尋ねています。したがって、この本は哲学で始まり、哲学で終わります。何世紀にもわたって、数学哲学者たちは、数学とは一体何なのかを自問してきました。どのように機能するのでしょうか?その代わりに、合計や方程式などについてはあまり心配しません。これらの質問の一部は未解決のままですが、数学哲学は十分に進化して、正しい答えがどのようなものであるべきかのアイデアを私たちに与えてくれます。
ただし、ほとんどの哲学的な質問と同様に、数学についてどう思うか、どの答えが最も魅力的だと思うか、今日の人々の数学の使い方に満足しているかどうかを決める必要があります。たとえば、Facebook は害よりもむしろ利益をもたらしますか?この質問はあなた自身で答えてください。それまでの間、Facebook のようなソーシャル サービスで数学がどのような役割を果たしているのか、今日私たち全員がよく知っている欠点がなぜ生じるのか、そしてなぜこれらの欠点は背後にある数学の概念を変更するだけでは解決できないのかを説明していきたいと思います。

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第八章 数学の究極の使い方

数学は役に立つ
私たちは 2 つの大きな疑問を検討してきました。数学はなぜ役立つのか、そしてそれは単なる偶然なのでしょうか?しかし、なぜこのように数学を使用する必要があるのでしょうか?前にも言ったように、すべてに数学が必要なわけではありません。第 2 章で紹介したピラハンとその他の文化グループを見てください。彼らは、数学を使用せずに、数量、形状、社会的組織、変化などをうまく扱うことができます。誰かがマシンの作り方を教えてくれたら、きっと必要な手順をすべて学び、自分で作ることができるでしょう。結局のところ、機械や建物には数学は存在しません。人々は数学の助けを借りずに多くのことを行うことができますが、それははるかに困難です。
数学的考え方と現実の構造的類似性は、数学を使用すると実際の問題をより簡単に解決できることを意味します。数学は現実を単純化します。すべての詳細ではなく、構造だけに焦点を当てる必要があります。 21斤と22斤の違いはわかりませんが、2列にきれいに並べると、片方の列が少し長いことがすぐにわかります。本質的に、これは数学が私たちに役立つことです。
たとえば天気を考えてみましょう。長い間、私たちは天気を予測するために数学を使用していませんでしたが、今ではそれもできるようになりました。私たちは現在の天気を詳細に研究し、それがどのように変化するかを考えなければなりません。東からの風が吹いていて、その方向に大雨が降っているのが見えれば、雨が降っていると確信できます。しかし、すべての小さな違いや変化を追跡するのは非常に困難であり、多くの変化があまりにも急速に起こっているため、私たちはそれに追いつくことができず、確かにそれほど時間がありません。すべてを分厚い本に書き留めて、100 年かけてすべてを解明することもできますが、それは誰の役にも立ちません。
数学は、気流や時間の経過とともにどのように変化するかなど、気象の最も重要な側面に焦点を当てるのに役立ちます。もちろん、これらの計算をコンピューターに渡すこともできます。これも役立ちますが、そうでない場合は、天気予報を作成するために数式を使用することはできません。私たちは微積分のおかげで天気を予測することができます。それがなければ、コンピューターですら天気を予測することはできないでしょう。
つまり、数学が私たちに役立つのは、複雑なものを単純にすることです。あなたが特定の数学的手法を使用する理由は、数学と現実の構造が類似しているためです。このような類似性のおかげで、現実世界の詳細を無視できます。時間を止めて天気の詳細を把握することができます。あるいは、人々の間のすべての違いを無視して、平均収入や政治的好みのみに焦点を当てることもできます。これにより、問題の解決がはるかに簡単になります。
この本で説明されている数学の多くは、まさにこれと同じように機能します。しかし、時には数学が別の方法でも影響を及ぼし、新しい解決策につながる可能性があります。この例は第 1 章でいくつか見ました。
数学はしばしば物理学の分野に驚きをもたらします。科学者のポール・ディラックとオーギュスティン・フレネルは、予想外の結果を計算した後、新たな発見をしました。砲弾の例と同様に、粒子と光を使った実験では信じられないような結果が得られましたが、結果は正しかったことが判明しました。数学は私たちが思っている以上に現実に即しており、私たちがまだ気づいていないことさえも明らかにしてくれます。
どうしてこんなことが起こるのかわかりません。なぜ数学がこれほどうまく機能するのかは未解決の謎です。実際、これが非常に便利であれば、ただ幸運であるだけでは済まされません。私たちは数学がどのように問題を単純化するのかを比較的明確に見てきましたが、数学が新しい理論の発見にどのように役立つのか、またなぜ一見奇妙な結果が新しい発見につながるのかについては、それほど明確な答えはありません。しかし、これは決して数学の特殊な性質を減じるものではありません。

私たちの日常生活でも同じことが言えます
こうした新しい発見は科学分野で頻繁に起こります。私たちのほとんどはおそらく数学をあまり使用しないため、数学が予測する奇妙な結果を自分の目で見る機会がありません。しかし、私たちが個人的に数学をあまり使わないとしても、数学は私たちの周りの世界を理解しやすくするため、日常生活に役立ちます。高校を卒業した後は、微積分を使う必要はなくなり、私たちが多くの時間を費やして見つめる他の公式と同様、運が良ければ、再びその公式を見ることはほとんどなくなるでしょう。数理哲学者の私ですら使う必要はありません。それにもかかわらず、私はなぜ数学をある程度理解する必要があると言い続けるのでしょうか?
私たちに間接的に影響を与えることが多いのは数学だけではありません。車のエンジンと政治について考えてみましょう。どちらも私たちの生活に大きな影響を与えます。車がなければ、私たちは移動することがさらに困難になるでしょうし、トラックやミニバンがなければ、物を買ったり使用したりするのはさらに困難になるでしょう。政治も同様です。大まかに言えば、私たちのほとんどは政治と直接の接触を持っていませんが、政治的決定は私たち一人ひとりに影響を与えます。車のエンジンと政治は、間接的ではありますが、私たちの生活に大きな影響を与えています。しかし、それは、それらがどのように機能するかを知る必要があるということでしょうか?
車のエンジンとしては、これはちょっとおかしなことです。車のドライバーは自分の車がどのように機能するかを知る必要はなく、車が運転することだけを知っていればよいのです。ガソリン車から電気自動車に乗り換えるなど、エンジンが変わっても生活に大きな変化はありません。車は前進し続け、経済も動き続けます。より環境に優しいかもしれませんが、実質的な違いはありません。
政治の場合は話が違います。新しい法律が可決されるかどうかなどの小さな変化も、私たちの日常生活に影響を与える可能性があります。ですから、学校では私たちは皆、政治システムがどのように機能するかを学びます。政治は日常生活から遠く離れたところにあるように思えることもありますが、政治がどのように機能するかを理解することは明らかに重要です。毎日政治に関わらないからといって、政治がどのように機能するかを理解することが重要ではないというわけではありません。
数学の分野ごとに違いはありますが、同様のことが数学にも当てはまります。特に集合論などの理論的な内容は日常生活とはほぼ無関係なので、本書では触れていません。しかし、私たちが実際に頻繁に適用する数学の分野であっても、それらの間には大きな違いがあります。積分と微分は重要ですが、政治というよりは車のエンジンに似ています。数学者が変化を計算する別の方法を見つけたなら、これはそれほど問題にはならないでしょう。積分と微分を使用する他の方法もありますが、最終的にはどの方法を使用するかは重要ではありません。彼らはいつも同じ天気予報を出し、同じ建物を建て、選挙結果についても同じ予測をします。重要なのは、このアプローチが機能するということです。それがどのように機能するかについては、あまり考える必要はありません。
積分と微分には非常に多くの用途があるため、少し知っていても損はありません。私たちはさまざまな場所で微積分に遭遇し、今日の社会の発展において非常に重要な役割を果たしています。第 5 章で述べたように、それは歴史の学問に似ています。自分の周りの世界がどこから来たのか、そしてなぜ物事がそのようになっているのかを知ることは、社会に対するより良い視点を与えるので役に立ちます。積分や微分についても同様です。微積分は、歴史上最も影響力のある知的成果の 1 つです。したがって、微積分計算の具体的な詳細が日常生活において直接重要ではないとしても、微積分について少し知っておくことは意味があります。
一方で、統計は私たちの日常生活に大きな影響を与えます。平均所得増加の計算方法は、その結果、ひいては私たちが抱く社会像に大きな影響を与える可能性があります。世論調査、男女間の賃金格差の計算、科学研究の結果でも同じことが起こります。統計は、膨大な量のデータを理解しやすくすることで非常に役立ち、また、私たちが気づかなかったつながりを確認できるようにすることもできます。問題は、統計が意図的か非意図的かにかかわらず、世界の見方を歪めるために簡単に使用されてしまうことです。
どの方法が使用されるか、世論調査がどのように行われるか、平均値の計算にどのようなデータが使用されるかはすべて、私たちが世界をどのように見るか、ひいては私たちが下す決定に影響を与えます。したがって、自分の意見を形成するには、統計を批判的な目で見る能力が重要です。この目標を達成するには、数学的知識が不可欠です。自分で計算するためではなく、どこが間違っているのかを理解するためです。私たちの日常生活における統計の価値は計り知れません。
最後にグラフ理論です。また、Google や Facebook などの企業はグラフィックを使用して私たちが目にする情報を決定しているため、私たちの生活にも大きな影響を与えています。グラフ理論が統計学よりもはるかに積極的であるのはこのためです。 Google がグラフの使用方法を変更すると、まったく異なる情報が表示される可能性があり、誤解されたり、まったく情報が見つからなかったりする可能性があります。第 7 章で述べたように、Google と Facebook はユーザーを特定の「バブル」に配置し、ユーザーが主に自分と同じような考えや好みを持つ人々とやり取りするようにします。
グラフ理論は、私たちが Google などのサイトを介して情報にどのようにアクセスするかを明らかにします。少なくとも同じくらい重要なのは、フィードバックがどうなるかを確認することです。 Google、Facebook、その他のインターネット企業は、収集したこれらすべての個人データを使って何ができるのでしょうか?誰がこの情報を見るのでしょうか?このプロセスのどの部分が手動ではなく、完全に自動化されていますか?これらは一般の人々にとって大きな関心のある質問であり、本当に答えを知りたい場合は、その背後にある数学を理解する必要があります。その後、何が可能で何が不可能なのか、AI が実際にどのように機能するのか、どこに危険が潜んでいるのかについて話し合うことができます。
これを行うのに十分な時間がある人がいるだろうか？毎日目にするすべてのデータをチェックし、人工知能の最新の進歩をすべて把握し、それでも通常の生活を維持していますか?誰もそれを行うことはできませんし、誰も行う必要はありません。基本を理解していれば、遠くまで進むことができます。これは、調査や世論調査の予期せぬ結果を批判的に見て、インテリジェント サービスによって収集されるデータの境界について深く考えるのに十分です。なぜなら、少し数学をするだけで、データを使って何をしようとしているのかをよりよく理解できるからです。
数学は、確かに難しい部分ではありますが、私たちの周りの世界をより深い光で見ることを可能にします。日常生活で実際の計算に出会うことは難しいかもしれませんが、15歳の自分にも言いたいです、「あなたの周りにあるものはすべて数学の研究の対象です。」建物、天気予報、世論調査などの膨大なデータに基づく予測、検索エンジン、人工知能など、数学の核となる概念を理解できれば、さらに理解が深まります。特に世界がより複雑になっている今、私たちはそれを少しでも楽にする何かが必要です。これはまさに数学の目的であり、数学がこのタスクを達成する方法は、多くの場合、私たちが思っているほど理解できないものではありません。