歡樂數學遊戲大闖關：一本充滿「爛插畫」的數學思維互動書

耶魯天才教師10餘年經驗積累，《歡樂數學》《瘋狂微積分》後新作。 500幅漫畫，5大類型、70餘個互動式數學遊戲。自己玩、親子玩、同學玩，在歡笑中輕鬆玩懂數學思維精髓。

編輯推薦

★ 耶魯天才教師10餘年教學經驗總結而成，暢銷書《歡樂數學》和《歡樂數學之瘋狂微積分》後新作。

★ 用漫畫和故事提升孩子數學理解。 500幅漫畫，5大類型、75¼個互動式數學遊戲，在遊戲中輕鬆領會數學思維精髓。

★ 只要紙、筆和偶爾幾個硬幣，學會1分鐘，好玩1輩子。同學健康社交、親子溫馨互動、孩子自娛自樂，學玩兩不誤的正能量遊戲。

★ 把數學原理變成了生動的生活場景。圖論、超實數、博弈論…數學與生活息息相關。

★ 囊括世界各國70餘款超經典數學遊戲。日本的筷子遊戲、英國的豆芽菜遊戲、美國的零錢遊戲、法國的點棋遊戲、阿根廷的亞馬遜棋、波蘭的LAP遊戲，等等，在遊戲中感受世界各地的數學思維。

★ 廣受「文津圖書獎」等社會各方認可。國家圖書館第十七屆“文津圖書獎”推薦圖書，入選“2022年新發現·科普書單”，入選百道好書榜·新知類，國圖少兒館重磅推薦，“四季童讀” 2023年夏季卷。

★ 院士、校長、數學家等許多權威人士傾情推薦。

內容簡介

為什麼數學遊戲很重要？因為它們能激發人類思維中最好的部分。奧爾林用這本互動式的數學遊戲集幫助我們打開了數學世界的趣味大門，揭示了數學的深層真理。本書包含終極井字棋、豆芽遊戲、收稅員、星系棋等70多款來自各國的經典遊戲，分為五大類，涵蓋了從邏輯到機率，從幾何到拓撲，從組合到博弈論等數學理論，嚴格遵循有趣、容易玩、在數學上給人啟蒙這三大設計原則。最重要的是，作者用漫畫的形式解釋了它們的玩法，很多遊戲只需1分鐘的時間即可掌握，但可能會給你帶來一輩子的樂趣。

作者簡介

本·奧爾林 Ben Orlin，一個不太擅長畫畫但擅長講課的數學老師，畢業於耶魯大學數學系，教過12～18歲各種層次的數學，偶爾也講講心理學、生物學、英語、認識論甚至地球科學。
他是「數學和爛插畫」（mathwithbaddrawings.com）部落格的作者，同時也為《大西洋月刊》、線上雜誌Slate 、《洛杉磯時報》和《芝加哥論壇報》撰寫與數學相關的文章。
已出版中文版作品：《歡樂數學》《歡樂數學之瘋狂微積分》。

目錄

前言
第1章空間遊戲 
   點格棋
   抽芽遊戲
   終極井字棋
   蒲公英遊戲
   量子井字棋
   空間遊戲大拼盤
第2章數字遊戲 
  筷子遊戲
  順序遊戲
  從33到99
  一分錢​​智慧
  預言遊戲
 數字遊戲大拼盤
第3章組合遊戲 
   Sim遊戲
   Teeko遊戲
   鄰居遊戲
   直角遊戲
   亞馬遜棋
   組合遊戲大拼盤
第4章風險與報酬遊戲 
   削弱遊戲
   琶音遊戲
   離譜遊戲
   紙上拳擊
   賽車遊戲
   風險與回報遊戲大拼盤
第5章資訊遊戲 
   靶心遊戲
   買者自負
   LAP遊戲
   量子釣魚
   塞薩拉遊戲
   資訊遊戲大拼盤
結語
致謝
常見問題

前言

前言
我想用一個謎題來拉開這本書的序幕。請問：你和黑猩猩到底有什麼差別？
答案揭曉：黑猩猩小時候是一隻小猩猩，然後會長大，而你小時候是一隻小猩猩，長大後還是一隻小猩猩。
我沒在開玩笑，照照鏡子看看你自己吧：光滑的皮膚、窄小的下顎、碩大的圓形顱骨——這些都是我們的類人猿表親隨著年齡的增長而逐漸消失的特徵，而你在成長過程中卻將它們固執地保留了下來。沒有嘲笑你的意思啦，畢竟我也是這樣過來的。人類在成年後仍保留著孩子般的特徵，並執著於古生物學家史蒂芬·傑·古爾德[ 史蒂芬·傑·古爾德（Stephen Jay Gould，1941—2002），美國著名的古生物學家、進化論科學家和科學史學家。代表作有《自達爾文以來》 《火烈鳥的微笑》《熊貓的拇指》等。 ——譯者註（後文若無特殊說明，皆為譯者註）]所說的「永保青春」－專業術語稱為「幼態持續」（neoteny），而在靈長類世界中，這就是人類的特色。最神奇的是，我們不僅長得像小猩猩，行為也和它們很像，如熱衷於模仿、探索、提問，等等——簡言之，就是愛玩。
各位長著娃娃臉的人類朋友，正是因為愛玩，我們才能成為靈長類動物的天才選手。也正是因為愛玩，人類才能建造出金字塔、在月球上留下腳印，以及製作出全球銷量超過3000萬張的專輯《艾比路》[ 《艾比路》（Abbey Road），英國搖滾樂隊披頭四於1969年發行的第11張專輯，也是他們的最後一張錄音室專輯。 ]。當然，我們不是長大後自然而然地擁有了智慧，而是因為從小就拒絕做一個愚蠢的生物。人類從動物界脫穎而出的秘密在於從未停止學習，而學習能力強的秘密就在於我們從未停止玩耍。
所以，還等什麼呢，一起來玩吧！

如何玩轉本書
你需要準備些什麼呢？

1.一些常見的生活用品。我盡量讓大多數遊戲只要用到紙和筆，但有些遊戲可能還要準備些別的。每一章都詳細說明了這些細節，尾聲部分的表格中也有相關總結（註：骰子不一定要準備實物，在網上搜索“在線骰子”“骰子小工具”等應用就能模擬擲骰子的結果） 。

新遊戲本身才是最難準備的原料。那些已有遊戲的變體及相關遊戲不包括在內。在法律禁止的情況下，以上建議均無效。但如果你所在的地區法律禁止玩遊戲，那麼問題就更嚴重了。

2.玩伴。很多數學書裡的遊戲都是一個人單獨玩的，但本書不是。我寫這本書時，正值由新冠肺炎疫情引發的保持「社交距離」（social distancing）被提出的那一年，於是這本書就成了一封寫給社交與聚會的情書。除了少數單人遊戲外，你是需要玩伴的。此外，雖然這本書是為像我這樣的「黑猩猩大寶寶」而寫的，但10歲的孩子基本上就可以玩書中所有的遊戲了，甚至還有很多遊戲適合6歲左右的孩子。

3.回歸本心。史蒂芬·傑·古爾德寫道：「許多動物在童年時期表現出高度的靈活性和玩耍的能力，但成年後卻遵循著嚴格的既定模式。」作為一名數學老師，我不得不承認，在許多情況下，人類的數學課似乎是為其他動物（如白蟻這類刻板的模仿者）設計的。這些課程不出意料地捕捉了我們思維中最糟糕的一面：麻木、笨拙、焦慮。閱讀本書時，請拋開這一切，召喚出你真實的本性，你內心最珍貴的童心。

玩遊戲的目的是什麼？最大程度地激發人類思維的潛能。

有哪些遊戲規則？
1. 本書探討的是一種獨特的人類玩耍方式：遊戲，也被稱為「規則遊戲」。它們的範圍涵蓋很廣：從擁有無數規則（如“大富翁”）到只有一個規則（如“地上都是岩漿”），從殘酷競爭的場景（如“大富翁”）到需要深度合作的場景（如「地上都是岩漿」），從最糟糕的人類文化產物（如「大富翁」）到最有價值的人類文化產物（如「地上都是岩漿」）。
在寫作過程中，我一直在尋找那些規則簡單且巧妙，同時能支撐豐富而複雜玩法的遊戲。正如那句諺語所說：“學會一分鐘，精通一世功。”

媒體評論

才華洋溢、學識廣博卻不故作嚴肅，這本書讓你在恍然大悟的“啊哈”中也能開心第“哈哈”，讓你發笑也讓你更加聰明。
——史蒂芬‧斯託加茨，康乃爾大學數學系教授、世界上備受推崇的數學家之一

對於微積分以及數學學習，我一直有兩個觀點：①不能只講證明，不講發明；不能只講定理，不講道理。 ②一個案例頂萬卷書；一個案例學好，你就把整個微積分的精神掌握了。這本《歡樂數學之瘋狂微積分》既給大家剖析了微積分的底層思維，又充滿了非常有趣的案例。它對學習者和教學者都有很大的啟發意義，我很高興把這本書介紹給大家。
——林群，中國科學院院士、著名數學家、“微積分爺爺”

數學的全貌是多姿多彩的。有時像走進大自然一樣能切身地感受到它的美麗。閱讀《歡樂數學之瘋狂微積分》就是這種感覺，沒有公式，沒有符號，沒有形式化邏輯，自然將微積分的緣起，邏輯融入常識性認知中，故事中，問題中，與閱讀者有沒有數學知識儲備，是否聰明無關。
——魏韌，中國數學奧林匹克一級教練、北京第十八中學黨委書記

教科書無法讓你在學習微積分時歡樂到咯咯笑，但本奧林的第二本書《歡樂數學之瘋狂微積分》可以。這本書是一部獨特而有趣的作品，主題是微積分這一令人無比恐懼的課程，講述了它的基本原理和發展過程。
——美國數學協會

本·奧爾林畫得果然夠「爛」！幸運的是，他非常聰明和迷人。他的才華使這些插畫成為最犀利、最溫暖、最詼諧的指南，展現了數學的不可抗拒的吸引力。
——漢娜‧弗萊，倫敦大學學院數學家兼BBC主持人

線上試讀

終極井字棋

關於分形結構的遊戲

2013年，在數學系的一次野餐活動上，我偶然知道了這個遊戲，並在之後寫了一篇介紹它的文章。那篇文章引發了短暫的網路現象，不但登上了黑客資訊（Hacker News）的頭條[ 如果你不知道黑客資訊是什麼，就有點奇怪了哦。 ——作者註]，還登上了紅迪網（Reddit）的首頁[ 如果你不知道紅迪網是什麼，也有點奇怪哦。 ——作者註]，甚至催生了一個小型的手機app[ 如果你不知道手機app是什麼，很正常。 ——作者註]產業。我的職業生涯在很大程度上歸功於這款遊戲，因此我深入思考了它與眾不同的原因。是因為遊戲規則巧妙？還是因為下棋策略不複雜？抑或因為它和極限飛盤運動之間存在潛在的聯繫[ “極限飛盤”的英文為Ultimate Frisbee，Ultimate本意為“終極”。 ]？
近年來，我逐漸發現，讓終極井字棋變得無可取代的是另一種特質──分形（我早就該想到這一點）。

從空中的雲朵到天邊的海岸線，再到大樹的枝杈，我們生活在分形的包圍之中，也許這就是為什麼終極井字棋玩起來讓人感覺如此自然。這是傳統井字棋一直渴望成為的樣子。

這遊戲怎麼玩？
你需要準備什麼？ 2名玩家、筆和紙。畫一個大的井字棋盤，然後在每個方格中填上小的井字棋盤。

玩家的目標是什麼？贏得三個可以連成一條線的小棋盤。

遊戲的規則是怎樣的呢？

（1）兩個玩家輪流標記自己的方格。遊戲的第一步可以設定在任何方格；但在此之後，你必須根據對手先前的行動在小棋盤上操作。該怎麼做呢？就是無論他們選擇哪個方格，你都必須在位置對應的小棋盤上進行下一步。
（2）如果你在小棋盤上佔領了三個連成一條線的方格，你就贏得了這個小棋盤。這樣一來，這個小棋盤就被關閉了，而對手玩家則需要在其他任意小棋盤上操作下一步。
（3）佔領連成一條線的三個小棋盤的玩家獲勝。
關於其他可能的獲勝條件，詳見終極井字棋的變體及相關遊戲。

遊戲體驗筆記
2018年5月的某一天，我在「538」網站[ 美國一個著名的透過建立模型進行分析預測的網站。 ]上瀏覽新聞時，看到一個令人驚訝的新聞標題。 「唐納德·川普（Donald Trump）沒在玩3D國際象棋[ 一款界面十分漂亮的國際象棋軟體。]，」資深記者奧利弗·羅德（Oliver Roeder）在這則頭條新聞中寫道，「他玩的是終極井字棋。”
當時，人們花了很多時間分析川普總統的行為。他從一場政治鬥爭跳到另一場政治鬥爭，常常因為一時興起就改變討論的主題。他是在實施什麼大計畫嗎？還是只是遵從內心瘋狂的衝動？ 「他是不是以為自己在下3D西洋棋？」批評者常打趣道。
奧利佛·羅德對此觀點表示贊同。但在他看來，川普完全是在玩另一場遊戲。
西洋棋只有一個戰場，而終極井字棋很多。 「這些戰場以奇怪而複雜的方式相互作用，」羅德寫道，「即便是一局經過深思熟慮的終極井字棋遊戲，乍一看也很隨意、簡單，甚至愚蠢至極。」這是一個「流動的、不斷變化目標的」遊戲，適用的策略包括「聲東擊西、拖延誤導和即興發揮」。換句話說，就是川普式的媒體策略。
這是良好的政治狀態嗎？也許不是。那麼，這是良好的遊戲狀態嗎？絕對是的。不僅如此，它還是一個絕妙的空間概念：一種分形視覺，讓大棋盤和小棋盤之間產生共鳴。
如此一來，就營造出一種局勢緊張的氛圍。在小棋盤上看起來不錯的一步棋，（如佔據了中心方格）在整體佈局中可能會變成一個錯誤（將對手送到中心棋盤）。要想獲勝，你必須實現這兩個層面的平衡，去做那些政治活動家努力做的事：“全球化思維，本地化行動。”

這遊戲從何而來？
我能找到的最早版本是1977年的一款桌遊，名為「Tic Tac Toe Times 10」。後來有一個名叫“Tic Tac Ku”的版本贏得了2009年的門薩精選獎，它的規則和現在略有不同（玩家要想獲勝，需要先佔領九個小棋盤中的五個，而不是佔領連成一條線的三個小棋盤）[ 這個遊戲的規則還規定，如果你被送到一個已經獲勝的小棋盤上，即使已經無法再影響那個棋盤的結果，你仍然必須在那裡繼續遊戲。這個看似無傷大雅的改變最終破壞了遊戲，原因在我撰寫的《歡樂數學》系列的第一本中被提及。為了得到好的遊戲體驗，還是應該把已經佔領的棋盤當作已關閉的賽場。 ——作者註]。幾年後，一個名為「Tic Tac Ten」的電子版本問世，遊戲規則的改變加速了遊戲的進程：只要佔領一個小棋盤，你就贏得了整場遊戲。
儘管如此，我在2013年發表的部落格文章仍然標誌著這款遊戲被收錄到流行語字典。
這個遊戲有很多不同的名字。維基百科中提到的有「超級井字棋」「戰略井字棋」「變體井字棋」和「井字棋二次方」等，但遺漏了我聽到的另外兩個，即我最喜歡的「分形井字棋」和最不喜歡的「井字棋空間」。 [ 我認為，每個對語言較真的人都可以進行一場注定失敗的堂吉訶德式戰鬥，但是只允許進行一場。如果你對非字面意義上的“literally”（literally原意為“確實的、字面意義上”，但常被用於誇張地強調，導致它的本意喪失）感到憤怒，那你就不能對“irregardless” （regardless本身為否定詞，意為“不管”，加上“ir”後本應為雙重否定，但在口語中，irregardless仍被習慣性地當作“不管”來用）這個詞再出拳了。如果你願意戰死在“data（資料）應該是複數”的那座山上，你就不能同時死在旁邊“begs the question and raises the question”（begs the question原意為“迴避問題”，但在實際使用中，常被誤用為“提出問題”，即被當作“raises the question”使用）的那座山上。你必須選擇一場對你來說最重要的，並且你認為人類文明賴以生存的戰鬥。我選擇的戰鬥是「inception」這個字。 2010年，那部令人矚目的電影《全面啟動》，原名為“Inception”，而「inception」指的是在別人腦中植入想法，讓他們以為這個想法是自己產生的。這是個非常有用的概念，是我試圖對生命中的每個人所做的，就像他們同時（更成功地）對我所做的那樣。可惜的是，這部電影令人難忘的高潮是一個嵌套的夢中夢結構。因此，人們開始使用“inception”來形容“物中物”，如在比薩（pizza）上面加一個迷你比薩就成了“pizza-ception”。在我看來，「inception」在這裡的使用蠢爆了，因為它不但擠走了嵌套概念的專有名稱（分形比薩），還讓「植入想法」這個概念沒有詞可以用了（“ pizza-ception」的意思本來應該是「植入比薩的想法」）。不過事已至此，如果你同意我的觀點，歡迎拍下這個腳註，並發給推特上的那些議員。雖然我認為他們對這個問題也束手無策，但我就是喜歡看到他們被奇怪的推特淹沒的樣子。 ——作者註
]無論如何，「終極」這個詞似乎被人們記住了。這是我無比自豪的一點，因為它是我奧克蘭特許高中的學生想出來的。

為什麼這個遊戲很重要？
因為我們生活在一個分形世界。
分形是指在不同尺度上看起來相同的東西。它對放大漠不關心，對縮減也無動於衷。看到樹枝如何分裂成更小的樹枝了嗎？每一根樹枝都是整體的微縮版。還有那沿著鋸齒狀曲線延伸的海岸線，在不同的尺度上看起來也都一樣，甚至連雲朵蓬鬆的結構也具有分形的特性。
這些分形事物蘊含的美感絕非偶然。一個簡單的設計原則在不同的尺度上無限重複，就能創造出迷人的複雜性。這就是《混沌》（Chaos）的作者詹姆斯·格雷克（James Gleick）所說的「一種搖擺不定且充滿活力的和諧」。
19世紀，分形溜進了數學界的聚會，它不請自來，顯得有些格格不入。分形帶來的那些新形狀參差不齊、不成體系，很難描述。數學家用「病態」這個詞來形容它們，因為它們破壞了幾何學的所有規則。
然而，幾十年來，從來沒有人正兒八經地給這些形狀歸類，它們只是一堆兼容性很差的玩具。直到20世紀，數學家伯努瓦·曼德爾布羅特（Benoit Mandelbrot）將它們統稱為「分形」（fractal），並開始將其視為治療方法，而不是疾病。他用分形治療什麼呢？嗯，根除那個認為三角形、正方形和椎形與物理現實有關的瘋狂老觀點。根據伯努瓦的說法，真正病態的是我們在學校裡教的幾何知識。 “雲不是球體，”他寫道，“山不是錐形的，海岸線不是圓形的，樹皮不是光滑的，閃電也不是沿直線傳播的。”
大自然不屬於歐幾裡得的世界，它屬於分形世界。
柏拉圖肯定很討厭分形幾何。這位古代哲學家如此堅定地相信純粹的歐幾裡得幾何，他在一次對話中曾假定整個宇宙是由三角形——確切地說，是兩類堪稱學生夢魘的“特殊直角三角形”——構成的。
嗯，好的，柏拉圖，請你瀏覽一下照片牆（Instagram）上你最喜歡的自然風光類帳號。你看到了多少個直角三角形？
現在再來看看，有多少個分形？分形比直角三角形更常見，不是嗎？
大自然就是一個分形花園。山是鋸齒狀的岩石堆，頂部是更小的岩石堆，而它們的頂部是更小更小的岩石堆。在你的肺裡，從氣管開始分支、分支，再分支，平均分支23次，最後形成像氣球一樣的小肺泡，向血液中輸送氧氣。簡言之，你的呼吸來自分形。早在分形幾何學誕生的幾十年前，地質學家就已經意識到，小河床和大峽谷在照片中很難區分，所以他們總是會在畫面中放一個鏡頭蓋或錘子作為比例參考。
每個小事物都是一個微觀世界，每個大事物都是一個宏觀世界，每一個尺度都與另一個尺度相呼應。

當然，確切地說，我辦公室窗外的那棵樹並沒有無限次地分支，估計最多不超過8次。然而，根據數學家邁克爾·弗雷姆（Michael Frame）和詩人阿米莉亞·厄裡（Amelia Urry）合著的《分形世界》（Fractal Worlds）一書，這已經足夠了。事物至少得有三個自相似的層級，才能稱為「分形」。終極井字棋，作為由正方形組成的正方形再組成的正方形，符合此條件。如果你想更深入一級，把9個這樣的遊戲組合成一個由729個正方形構成的棋盤，請便。 [ 這樣的話，遊戲規則要怎麼調整呢？可以試試讓你的行動位置由前兩步決定：上一步（你走的）決定你在哪個中等大小的棋盤上玩，上一步（你的對手走的）決定你在哪個小棋盤上玩。有一項世界紀錄正在等待著希望（並敢於）嘗試這一方法的人。 ——作者註]
我承認，終極井字棋缺少分叉閃電的戲劇性。它是一種人為的分形，就像人造電容器裡的分形、湯姆·斯托帕德[ 湯姆·斯托帕德（Tom Stoppard，生於1937年），英國劇作家，代表作有《莎翁情史》 《鬱金香狂熱》和《攔截密碼戰》等。 ]戲劇裡的分形，或薩爾瓦多·達利[ 薩爾瓦多·達利（Salvador Dalí，1904—1989），西班牙藝術家，被譽為20世紀最具代表性的畫家之一，因其超現實主義作品而聞名，代表作有《記憶的永恆》《一條安達魯狗》和《內戰的預兆》等。 
]（Salvador Dalí）畫作中的分形。儘管如此，就像所有蘊藏著人類智慧的作品一樣，終極井字棋從大自然的深井（這口井充滿了分形）中汲取靈感。
「從普朗克長度到整個宇宙都可能存在分形結構，」麥可和阿米莉亞寫道，「也許還覆蓋所有出現分支變化的宇宙。據我們所知，更大的尺度範圍是不可能的。”
也許我的學生在給分形井字棋取這個最貼切的名字——終極——時，就已經想到了這一點。

變體及相關遊戲
單次勝利：首先佔領任何一個小棋盤的玩家將贏得這場遊戲。

多數規則：為了獲勝，你必須佔領比對手更多的小棋盤。它們的排列不重要，重要的是，它們的數量。

共享領地：在一般的遊戲中，如果一個小棋盤被佔領後沒有和其他兩個被佔領的小棋盤連成一條線，對雙方玩家來說都沒有意義。但如果你願意，你可以把它視為兩名玩家共有（這樣就更容易連贏三個棋盤）。

終極掉落三：本·伊賽克（Ben Isecke）給了我這個想法，這是終極井字棋和四子棋的完美結合。遊戲步驟與終極井字棋一樣，除了一點，即無論你把X或O放在哪裡，它都會「掉落在」那個小棋盤中盡可能遠的位置。在任何一個迷你棋盤上優先佔領可以連成一條線的3個方格即為贏家（或者也可以定為優先佔領連成一條線的3個小棋盤）。
在每個回合中，你只有三個選擇：左、中、右。結果便是遊戲過程變得更緊張、更有壓力，但仍然非常複雜。

雙重遊戲：在原來的遊戲中，對手的走法決定了你下一步必須走的小棋盤，而雙重遊戲則扭轉了這個局面。現在的情況是，對手的走法決定了你下一步必須走的小方格，但選擇哪個小棋盤由你而定。

你也可以這樣理解這個遊戲：原來的遊戲是把玩家送到一座城市，然後由玩家選出其中一個社群。現在的版本是事先規定一個社區，玩家可以選擇任何一座城市並佔領整個社區。
這是一場艱苦的比賽。我只能勉強走一步看一步，很難思考更多。一定要注意最新的那一步，否則一不留神就會迷路。