數學有什麼用？學校裡沒教過的數學趣味史（補上數學學習中缺少的重要一課）

20歲即獲博士學位的數學奇才，帶你穿越古今，感受數學塑造歷史、改變生命的力量。知曉數學史的來龍去脈，明白學數學的根本原因，獲得受用終身的數學認知。

產品特色

編輯推薦

★幾乎所有人對數學的討厭都不是因為數學本身，而是不明白為什麼要學數學。天才數學家，為你補上中學數學開課前蕞重要的一堂數學啟蒙課。

★一部不做運算、只講故事的簡明數學史。摒棄一切公式與計算，用一個個歷史段子讓你知道數學從何而來、有什麼用。

★透視社會生活背後的數學邏輯。導航軟體、刷短影片、天氣預報，我們的日常都是數學演算法在支撐。數學不僅是一門抽象的學科，也導演著這個形形色色的世界舞台。

★沒有對數學本質的理解，我們的認知會是不完整的。數學的終極之用是一種變得複雜為簡單的思考方式，可以培養我們的邏輯能力、解決問題的能力，以及提升分析和決策的能力。

內容簡介

從美索不達米亞的居民開始使用數字起，幾千年來，數學就是歷史發展不可阻擋的力量。
現在，我們在日常中似乎已經用不到數學，但其實數學無所不在：各種網站的推播、列車時刻表、搜尋引擎、電腦、飛機的自動駕駛，甚至咖啡機，靠的都是隱藏著數學運算。
數學可以在生活的每個地方找到，了解一些關於數學的知識以及它如何影響我們的生活也變得越來越重要。事實證明，如果不知道數學計算背後的原理，我們的認知是不完整的。
本書中回答了這些問題：沒有數字的生活是什麼樣的？每個人都要懂積分嗎？我們如何把握不確定性？數學能幫助我們更有效地治療癌症嗎？天才數學家史蒂芬·布伊斯曼在這本書中將數學與哲學、心理學和歷史聯繫起來，為每個人解釋數學世界的美妙。
本書獲得「2018年度荷蘭十大非虛構圖書」。

作者簡介

史蒂芬‧布伊斯曼：20歲即獲博士學位的數學奇才。
出生於1995年。本科就讀於荷蘭萊頓大學攻讀電腦科學和哲學。
18歲獲得哲學碩士學位。僅用1年半、20歲時即獲得瑞典斯德哥爾摩大學的博士學位。目前從事數學哲學領域的研究。
他的著作包括：《和阿基米德喝咖啡：理解數學才能更好地理解世界》《人工智慧變得越來越聰明：看看螢幕後面》《數學：我們如何在不刮鬍子的情況下使用數學》等。

目錄

引言 1
第一章 我們身邊的數學5
來自影片網站的推薦9
數學無所不在12
第二章 從哲學分離出來的數學15
把數學當成一個宏大的故事19
美的價值21
第三章 沒有數學能生活嗎？ 29
在一座遠離皮拉罕的島上31
不需要測量！ 35
處理小數量37
我也不太清楚！腦和大數字40
辨識幾何形狀－連雞都會45
數學額外帶來了什麼嗎？ 49
第四章 數學推動文明50
泥板上的數學51
美索不達米亞的課業55
埃及的麵包、啤酒和數字59
一向講理論的希臘人65
講究實踐的中國數學69
第五章 唯一不變的是變化－微積分的力量74
牛頓VS 萊布尼茨78
越來越小的步長80
數步子84
沒有什麼比天氣更善變87
建築、政策制定和物理學中的微積分89
每個人都需要微積分嗎？ 94
第六章 掌握不確定性－機率與統計一瞥97
數學遊戲98
丟硬幣102
兩位托馬斯105
都是遊戲？實踐中的數學109
更多數據！ 112
約翰·斯諾到底發現了什麼？ 114
尼可拉斯凱吉與溺亡人數117
假新聞？用統計學扭曲世界119
不用挨個問每一個人123
第七章 萬物皆可「圖」－認識圖論128
單行道131
網路上的旅程138
影片推薦的底層邏輯142
用數學更有效地治療癌症143
臉書、友誼與人工智慧145
幕後的圖149
第八章 數學的終極之用152
數學中的錯誤154
這一切是巧合嗎？ 155
數學帶來的幫助158
在我們的日常生活中也一樣160

前言

引言
讓我們回到過去。我表情呆滯地望著我的數學老師。電子黑板上寫著一串公式，還畫了一幅圖，圖上有一條曲線和幾條與它相交的直線。和其他每個學數學的初三生一樣，我必須弄清楚這些方程式和圖形的意思。為什麼？就我個人而言，是因為我想學天文學。當時我不知道的是，我實在太沒耐心，所以根本學不好這門學科。但要是我那時就知道呢？而且知道我最後學的專業幾乎從來不用計算？那我就會打開Google（Google)輸入下面這個問題：數學有什麼用？
谷歌回饋的第一個結果是荷蘭一份日報上的一篇文章，講的是畢達哥拉斯定理和怎麼切比薩，十分具體，但它只說明了數學很小的一部分用途。要是沒有數學，我甚至沒辦法用谷歌來搜尋這個問題的答案，或是只能搜到一篇和問題完全無關的文章。谷歌這樣的搜尋引擎必須依靠數學才能運作。我指的不光是計算機採用了二進制；谷歌利用了數學中一個巧妙的分支來為我的問題尋找一個有價值的答案。在Google創辦人謝爾蓋·布林和拉里·佩奇於1998年設計出這種方法之前，例如你在搜尋框中輸入“比爾·克林頓”，只會得到他的照片和當時的那個笑話。如果你用雅虎（Yahoo）搜尋“Yahoo”，關於它本身的詞條甚至不會出現在前十！幸運的是，現在情況改變了——為此我們應該感謝數學。
但時至今日，還有很多人和國中時的我有同樣的感覺。對他們來說，數學是一面寫得滿滿噹噹的黑板，上面的方程式幾乎都看不懂，而且你一旦離開學校就再也不需要它了。難怪那麼多人覺得數學似乎既無法理解又沒用。但事實恰恰相反：數學在我們的現代社會中扮演著非常重要的角色，只要把眼光放到方程式以外的地方，其實它也沒有我們平常想的那麼難理解。谷歌為我們選擇訊息的方式，展現了數學對我們的日常生活有多大的影響，包括正面的和負面的。 Google、臉書（Facebook）和推特（Twitter）這樣的數位化服務能強化人們已有的意見和信念。今天我們常看到假新聞，很難避免，部分原因就是這些服務運作的方式。要學會怎麼與假新聞鬥爭，首先我們必須理解網路服務如何強化我們的意見，以及要改變它們的運作方式為什麼很難。
在這本書中，我想展現數學是多麼有用。現在我對數學有了更深的了解，從某種意義上說，這本書是寫給小時候的我的；但它同樣寫給那些和以前的我一樣，覺得數學計算又難學又沒用，並且為自己和數學扯不上關係而感到慶幸的人。因為我是數學哲學家，關於數學如何運作以及我們如何學習數學，我思考得很多，所以我知道，它和我們所有人都有著密切的關係，無論我們在工作中用不用得上它。數學絕對不只是方程，所以這本書裡的方程這麼少。如果你想解決一個具體的問題，方程式確實有用，但它們常常分散你的注意力，讓你看不到數學背後的理念。在這本書中，為了展現數學其實不像許多人想的那樣與我們毫不相關且難以理解，我會介紹數學的幾個領域和它們背後的理念。這些領域的應用多得驚人，而且誰都能輕鬆理解，如果我們能忘記那些方程，那就更輕鬆了。比如說圖論，既可以用於谷歌這樣的搜尋引擎、對搜尋結果進行排序，也可以應用於預測癌症患者對某種特定療法有何反應，還可以用於研究大城市裡的交通流。
我在本書中介紹的現代數學其他領域的情況也一樣，譬如統計學和微積分。它們背後的理念往往簡單得出乎意料，而且比你在學校裡學這些東西時所以為的有用得多。我們幾乎每天都會在新聞裡接觸統計學，涉及犯罪、經濟、政治等領域的數據。很多時候我們並不清楚這些數據到底意味著什麼，以及它們來自哪裡。早在一個世紀前，人們就警告過，誤導的統計數據會帶來什麼危險。這是有道理的。時至今日，這些警告甚至變得更重要。
和圖論一樣，微積分之所以有用，是因為它讓各種應用得以實現。而對此，我們甚至都沒有意識到。自工業革命以來，人們一直在應用微積分提升蒸汽機的效率，讓汽車實現自動駕駛，建造摩天大樓，諸如此類，多不勝數。如果說有哪個數學領域改變了歷史，那就是微積分。但在我更詳細地討論數學的眾多現代應用之前，我們必須先回到它的源頭。這並不意味著尋找複雜的歷史結論或考證古代的先賢學者，而是檢視人類自身的歷史。我們每個人生來就擁有五花八門的數學技巧，靠著它們，即使不上數學課，我們也能存活下來。但歷史告訴我們，等到人們過起了大集體生活，這些與生俱來的技巧就不夠用了。當社會發展到某個特定階段，由於規模過大，它離開數學便無法正常運轉，於是我們不得不將注意力轉向算術和幾何。有的文明沒有發展出任何形式的數學，也依然倖存了下來，但其社會規模一直不大，都沒有發展起城鎮。
組織一個社群，為了確保安全而建造房屋和其他建築，以及調節食物供給等，做好這類事情需要抽象的數學。數學讓實際的問題變得更簡單，讓我們周圍的世界更容易掌控。
數學到底有什麼用？這個問題問的不僅是數學的實際應用，它首先問的是哲學。所以這本書始於哲學，到最後又回歸哲學。許多世紀以來，數學哲學家一直在自問──數學到底是什麼？它如何運作？他們反而不會過於操心求和、方程式之類的事情。這些問題中有一部分還​​沒得到解答，但數學哲學發展至今，已經足以讓我們知道，正確的答案看起來應該是什麼樣子。
不過，和大部分哲學問題一樣，你必須確定自己對數學的看法，你覺得哪些答案最有吸引力，以及你對如今人們使用數學的方式是否滿意。比如說，臉書是否利大於弊？這個問題我留給你自己來回答。同時，我會試著解釋，數學在臉書這樣的社交服務平台中發揮著怎樣的作用，如今我們都很熟悉的弊端為什麼會出現，以及這些弊端為什麼不能通過簡單地改變它們背後的數學理念來解決。

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第八章 數學的終極之用

數學帶來的幫助 
我們已經探討了兩個大問題：是什麼讓數學變得有用，以及這是否純屬巧合？但是，我們為什麼應該以這種方式使用數學？正如我前面講過的，並非所有事都必須藉助數學才能乾成。看看皮拉罕人和第二章介紹的其他文化群落。他們可以在不使用數學的情況下很好地處理數量、形狀、社會組織、變化等。如果有人向他們示範如何製造機器，我敢肯定，他們也能學會所有必要的步驟，然後自己完成。歸根究底，機器和建築裡沒有數學。人們不需要藉數學也能做成很多事情，只是會困難得多。 
數學理念和現實結構上的相似性，意味著數學能讓我們更簡單地解決實際問題。數學簡化現實。你只需專注於結構，不必掌握所有細節。我們看不出21條麵包和22條麵包之間的區別，但只要你把它們整齊地排成兩行，立刻就能看到其中一行略長了一點。從本質上來說，這正是數學帶給我們的幫助。 
以天氣為例。長期以來，我們預報天氣並不會用到數學，現在我們也可以這樣做。我們只需要非常詳細地研究當前的天氣，然後思考它可能會發生什麼變化。如果風從東邊吹過來，而且我們看到那個方向正在下大雨，那我們可以相當確定，雨快要來了。但要追蹤所有微小的差異和改變非常困難；如此多的變化來得如此迅速，我們就是無法掌握，也肯定沒有那麼多時間。你固然可以把所有事情記錄在一本大書上，然後花100年時間把它們全都弄清楚，但這對任何人都沒有好處。 
數學幫助我們專注於天氣最重要的方面，例如氣流以及它們隨時間變化。當然，我們可以把這些計算交給計算機，這也有幫助，不然我們還是沒辦法用公式來做天氣預報。我們之所以能預報天氣，這得感謝微積分。要是沒有它，即例是計算機也無法預測天氣。 
所以，數學幫助我們的方式是把複雜的事情變得簡單。你之所以會使用某種數學方法，是因為數學和現實的結構之間存在著相似性。多虧了這樣的相似性，你才能忽略現實世界中的細節。你可以讓時間停滯，然後慢慢審視天氣的所有細節。或者你可以忽略人與人之間的所有差異，只專注於平均收入或政治偏好。這讓問題變得好解決多了。
本書中討論的許多數學正是這樣運作的。但有時候，數學發揮的作用也表現在其他方面：它可能帶來新的解決方案。我們在第一章中看到了這方面的一些例子。 
數學常常給物理學領域帶來驚喜。科學家保羅·狄拉克和奧古斯丁·菲涅耳在算出意料之外的結果後做出了新的發現。就像砲彈的例子一樣，他們關於粒子和光的實驗所得出的結果看起來不可思議，但這些結果後來被證明是正確的。數學比我們所以為的更契合現實；它甚至向我們揭示了我們自己還沒注意到的事情。 
我們不知道怎麼會發生這樣的事。數學為什麼運作得這麼好，這是個未解之謎。事實上，如果它真的這麼有用，那我們不應該只是幸運而已。數學如何簡化問題，我們已經看得比較清楚了，但它如何幫助我們發現新的理論，為什麼看起來很奇怪的結果有時會導向新的發現，這些問題的答案遠沒有那麼明確。但這絲毫不會削弱數學的特殊性。 

在我們的日常生活中也一樣 
這些新發現通常出現在科學領域。大多數人可能都不會頻繁使用數學，所以沒機會親自見識數學預測的奇怪結果。但即使我們親自用到數學的機會不多，數學在我們的日常生活中也很有用，因為它讓我們周圍的世界變得更容易理解。我們離開中學後就不再需要使用微積分，和所有那些我們花了太多時間盯著看的公式一樣，如果夠幸運的話，我們幾乎永遠不會再看到它們。就連我都不需要使用它們，而且我還是個數學哲學家。所以，即使如此，為何我還要一再強調，我們需要對數學有一定的了解？ 
經常間接與我們發生關係的事物絕不止數學一種。想想汽車引擎和政治，這二者對我們的生活都有重大影響。如果沒有轎車，四處活動對我們來說會難得多，而如果沒有卡車和小貨車，我們購買、使用商品會變得更麻煩。政治也一樣。籠統地說，我們大部分人不會直接接觸政治，但政治決策影響我們每一個人。汽車引擎和政治對我們的生活有著間接但深刻的影響。但是，這是否意味著我們必須知道它們如何運作？ 
對汽車引擎來說，這樣的想法有點瘋狂。汽車司機不需要知道他們的車如何運作，他們唯一需要知道的是車能開就行。一台不一樣的引擎不會為你的生活帶來太大改變，例如，從汽油車換成電車。你的車一直往前開，經濟也一直在運作。它可能更環保，但沒有本質上的區別。 
對政治而言，情況就不一樣了。小一點的變化，例如一項新的法律是否通過，也會影響我們的日常生活。所以，我們在學校裡都會學習政治體系如何運作。雖然政治有時候可能看起來距離你的日常生活十分遙遠，但了解一些政治的運作機制顯然十分重要。你固然不會每天跟政治打交道，但這並不代表了解政治的運作機制就不重要。 
數學也一樣，儘管數學的不同領域之間存在差異。那些特別理論化的學科，例如集合論，幾乎和日常生活完全無關，所以我在這本書裡沒有提到它。但即便是我們經常應用在實踐中的那些數學領域，它們之間也存在著巨大的差異。積分和微分十分重要，但它們更像汽車發動機，而不是政治。如果數學家想出了另一種辦法來計算變化，這不會帶來多大的問題。甚至還有使用積分和微分的其他方法，但最終用什麼方法並不重要。反正它們總是會得出同樣的天氣預報，建好同樣的大樓，對選舉結果做出同樣的預測。重點在於，這種方法有用。至於它具體怎麼運作，我們不需要想太多。 
積分和微分的應用如此廣泛，了解一點也沒什麼壞處。我們在很多地方都會遇到微積分，它在今天這個社會的發展中扮演著非常重要的角色。正如我在第五章中所說的，它和歷史這門學科有些相似。知道周遭的世界從何而來，為什麼事物會呈現出它們現在的樣子，這很有用，因為這能給你一個更好的視角看待社會。積分和微分也一樣。微積分是歷史上最有影響力的思想成就之一。所以，就算微積分計算的具體細節在我們的日常生活中沒有什麼直接的重要性，了解一點微積分也很合理。 
從另一個方面來說，統計學對我們的日常生活的確有重大影響。平均收入漲幅的計算方法可能極大地影響計算結果，進而影響我們心目中的社會圖景。同樣的事情也發生在民調、男女收入差距以及科研結果的計算中。統計學可以讓大量數據變得更容易理解，從而大大幫助我們，它也能讓我們看到自己可能沒注意到的連結。問題在於，統計學很容易被有意或無意地用來扭曲我們所看到的世界。 
使用哪種方法，民意調查如何進行，基於什麼數據計算平均值，這都會影響我們對世界的看法，進而影響我們所做的決定。因此，要形成我們自己的意見，有能力用批判的眼光看待統計學很重要。要實現這個目標，數學知識至關重要。不是為了親自計算，而是為了理解它有哪些地方可能出錯。統計學在我們日常生活中的價值大到難以估量。 
最後是圖論。它也對我們的生活影響重大，因為Google和臉書這樣的公司用圖來決定我們可以看到的資訊。正是這個原因，圖論的侵略性比統計學強得多。如果谷歌改變了使用圖的方式，這可能意味著你會看到完全不同的訊息，你可能因此被誤導，甚至完全搜不到任何資訊。正如我在第七章提過的，Google和臉書會把使用者裝進特定的“泡泡”，確保人們主要接觸的都是想法、偏好和自己相似的人。 
圖論揭示了我們如何透過谷歌這樣的網站獲取資訊。至少同樣重要的是，我們看到了我們回饋的訊息會得到怎樣的處理。谷歌、臉書和其他網路公司能用他們蒐集的所有這些個人資料來幹什麼？誰會查看這些資訊？這個過程中有哪些部分是非人工、全自動的？這些都是大眾十分關切的問題，如果你真想知道答案，就需要理解它們背後的數學。然後你才能討論什麼是可能的，什麼是不可能的，人工智慧到底如何運作，危險潛藏在什麼地方。 
誰有足夠的業餘時間來做這些？檢查每天碰到的每一個數據，時刻關注人工智慧所有最新進展，同時還要維持正常生活？誰也做不到，也不需要這樣做。只要理解了最基礎的東西，你就能走得很遠。這足以讓你批判地看待某項研究或某次民調出人意表的結果，深入思考智慧服務蒐集資料的界線。因為，你只要掌握一點點數學知識，就能更能理解他們會用這些數據做什麼。 
數學，當然包括其中比較困難的部分，讓我們能以更深刻的眼光看待周遭的世界。你在日常生活中可能很難遇到任何實際的計算，但是，我也想對15歲的自己這樣說：「你所看到的周圍的一切都是數學研究的對象。」形狀奇怪的建築、天氣預報、民調等基於大量數據的預測，搜尋引擎和人工智慧——如果你能領會數學的核心概念，你對這些東西的理解都會變得更深入。尤其是現在，世界正在變得越來越複雜，我們需要一些能讓它變得不那麼令人眼花撩亂的東西。這正是數學的意義，數學完成這個任務的方式，往往沒有我們以為的那麼難理解。