数学有什么用？学校里没教过的数学趣史（补上数学学习中缺失的重要一课）

20岁即获博士学位的数学奇才，带你穿越古今，感受数学塑造历史、改变生活的力量。知晓数学史的来龙去脉，明白学数学的根本原因，获得受用终身的数学认知。

产品特色

编辑推荐

★几乎所有人对数学的讨厌都不是因为数学本身，而是不明白为什么要学数学。天才数学家，为你补上中学数学开课前蕞重要的一堂数学启蒙课。

★一部不做运算、只讲故事的简明数学史。摒弃一切公式与计算，用一个个历史段子让你知道数学从何而来、有什么用。

★透视社会生活背后的数学逻辑。导航软件、刷短视频、天气预报，我们的日常都是数学算法在支撑。数学不仅是一门抽象的学科，而且还导演着这个形形色色的世界舞台。

★没有对数学本质的理解，我们的认知会是不完整的。数学的终极之用是一种变复杂为简单的思维方式，可以培养我们的逻辑能力、解决问题的能力，以及提高分析和决策的能力。

内容简介

从美索不达米亚的居民开始使用数字起，几千年前来，数学就是历史发展不可阻挡的力量。
现在，我们在日常中貌似已经用不到数学，但其实数学无处不在：各种网站的推送、列车时刻表、搜索引擎、电脑、飞机的自动驾驶，甚至咖啡机，靠的都是隐藏着数学运算。
数学可以在生活的每一处地方找到，了解一些关于数学的知识以及它如何影响我们的生活也变得越来越重要。事实证明，如果不知道数学计算背后的原理，我们的认知是不完整的。
本书中回答了这些问题：没有数字的生活是什么样的？每个人都要懂积分吗？我们如何把握不确定性？数学能帮助我们更有效地治疗癌症吗？天才数学家斯蒂芬·布伊斯曼在这本书中将数学与哲学、心理学和历史联系起来，为每个人解释数学世界的美妙。
本书获得“2018年度荷兰十大非虚构图书”。

作者简介

斯蒂芬·布伊斯曼：20岁即获博士学位的数学奇才。
出生于1995年。本科就读于荷兰莱顿大学读计算机科学和哲学专业。
18岁获得哲学硕士学位。仅用1年半、20岁时即获得瑞典斯德哥尔摩大学的博士学位。目前从事数学哲学领域的研究。
他的著作包括：《和阿基米德喝咖啡：理解数学才能更好地理解世界》《人工智能变得越来越智能：看看屏幕后面》《数学：我们如何在不刮胡子的情况下使用数学》等。

目　　录

引言  1
第一章  我们身边的数学 5
来自视频网站的推荐 9
数学无处不在 12
第二章  从哲学中分离出来的数学 15
把数学当成一个宏大的故事 19
美的价值 21
第三章  没有数学能生活吗？ 29
在一座远离皮拉罕的岛上 31
不需要测量！ 35
处理小数量 37
我也不太清楚！脑和大数字 40
识别几何形状——连鸡都会 45
数学额外带来了什么吗？ 49
第四章  数学推动文明 50
泥板上的数学 51
美索不达米亚的课业 55
埃及的面包、啤酒和数字 59
一向讲理论的希腊人 65
讲究实践的中国数学 69
第五章  唯一不变的是变化——微积分的力量 74
牛顿 VS 莱布尼茨 78
越来越小的步长 80
数步子 84
没有什么比天气更善变 87
建筑、政策制定和物理学中的微积分 89
每个人都需要微积分吗？ 94
第六章  把握不确定性——概率和统计一瞥 97
数学游戏 98
扔硬币 102
两位托马斯 105
都是游戏？实践中的数学 109
更多数据！ 112
约翰·斯诺到底发现了什么？ 114
尼古拉斯·凯奇与溺亡人数 117
假新闻？用统计学扭曲世界 119
不用挨个问每一个人 123
第七章  万物皆可“图”——认识图论 128
单行道 131
互联网上的旅程 138
影片推荐的底层逻辑 142
用数学更有效地治疗癌症 143
脸书、友谊和人工智能 145
幕后的图 149
第八章  数学的终极之用 152
数学中的错误 154
这一切是巧合吗？ 155
数学带来的帮助 158
在我们的日常生活中也一样 160

前　　言

引言
让我们回到过去。我表情呆滞地望着我的数学老师。电子黑板上写着一串公式，还画了一幅图，图上有一条曲线和几条与它相交的直线。和其他每个学数学的初三生一样，我必须弄懂这些方程和图形的含义。为什么？就我个人而言，是因为我想学天文。当时我不知道的是，我实在太没耐心，所以根本学不好这门学科。但要是我那时候就知道呢？而且知道我最后学的专业几乎从来不用计算？那我就会打开谷歌（Google)输入下面这个问题：数学有什么用？
谷歌反馈的第一条结果是荷兰一份日报上的一篇文章，讲的是毕达哥拉斯定理和怎么切比萨，十分具体，但它只说明了数学很小的一部分用途。要是没有数学，我甚至没法用谷歌来搜索这个问题的答案，或者只能搜到一篇和问题完全无关的文章。谷歌这样的搜索引擎必须依靠数学才能工作。我指的不光是计算机采用了二进制；谷歌利用了数学中一个巧妙的分支来为我的问题寻找一个有价值的答案。在谷歌创始人谢尔盖·布林和拉里·佩奇于 1998年设计出这种方法之前，比如你在搜索框中输入“比尔·克林顿”，只会得到他的照片和当时的那个笑话。如果你用雅虎（Yahoo）搜索“Yahoo”，关于它本身的词条甚至不会出现在前十！幸运的是，现在情况变了——为此我们应该感谢数学。
但时至今日，还有很多人和初中时的我有同样的感觉。对他们来说，数学是一面写得满满当当的黑板，上面的方程几乎都看不懂，而且你一旦离开学校就再也不需要它了。难怪那么多人觉得数学似乎既无法理解又没用。但事实恰恰相反：数学在我们的现代社会中扮演着非常重要的角色，只要把眼光放到方程以外的地方，其实它也没有我们平时想的那么难理解。谷歌为我们选择信息的方式，展现了数学对我们的日常生活有多么大的影响，包括正面的和负面的。谷歌、脸书（Facebook）和推特（Twitter）这样的数字化服务能强化人们已有的意见和信念。今天我们经常看到假新闻，这很难避免，部分原因就是这些服务运作的方式。要想学会怎么与假新闻斗争，首先我们必须理解互联网服务如何强化我们的意见，以及要改变它们的运作方式为什么很难。
在这本书中，我想展现数学是多么有用。现在我对数学有了更深的了解，从某种意义上说，这本书是写给小时候的我的；但它同样写给那些和以前的我一样，觉得数学计算又难学又没用，并且为自己和数学扯不上关系而感到庆幸的人。因为我是数学哲学家，关于数学如何运作以及我们如何学习数学，我思考得很多，所以我知道，它和我们所有人都有着密切的关系，无论我们在工作中用不用得上它。数学绝不仅仅是方程，所以这本书里的方程才这么少。如果你想解决一个具体的问题，方程确实有用，但它们常常分散你的注意力，让你看不到数学背后的理念。在这本书中，为了展现数学其实不像很多人想的那样与我们毫不相关且难以理解，我会介绍数学的几个领域和它们背后的理念。这些领域的应用多得惊人，而且谁都能轻松理解，要是我们能忘记那些方程，那就更轻松了。比如说图论，既可以用于谷歌这样的搜索引擎、对搜索结果进行排序，也可以应用于预测癌症患者对某种特定疗法有何反应，还可以用于研究大城市里的交通流。
我在本书中介绍的现代数学其他领域的情况也一样，譬如统计学和微积分。它们背后的理念往往简单得出乎意料，而且比你在学校里学这些东西时所以为的有用得多。我们几乎每天都会在新闻里接触统计学，涉及罪案、经济、政治等领域的数据。很多时候我们并不清楚这些数据到底意味着什么，以及它们来自哪里。早在一个世纪前，人们就警告过，误导性的统计数据会带来什么危险。这是有道理的。时至今日，这些警告甚至变得更加重要。
和图论一样，微积分之所以有用，是因为它让各种应用得以实现。而对此，我们甚至都没有意识到。自工业革命以来，人们一直在应用微积分提升蒸汽机的效率，让汽车实现自动驾驶，修建摩天大楼，诸如此类，多不胜数。如果说有哪个数学领域改变了历史，那就是微积分。但在我更详细地讨论数学的众多现代应用之前，我们必须先回到它的源头。这并不意味着寻找复杂的历史结论或者考证古代的先贤学者，而是检视人类自身的历史。我们每个人生来就拥有五花八门的数学技巧，靠着它们，哪怕不上数学课，我们也能生存下来。但历史告诉我们，等到人们过起了大集体生活，这些与生俱来的技巧就不够用了。当社会发展到某个特定阶段，由于规模过大，它离开数学便不能正常运转，于是我们不得不将注意力转向算术和几何。有的文明没有发展出任何形式的数学，也依然幸存了下来，但其社会规模一直不大，都没有发展起城镇。
组织一个社群，为了确保安全而修建房屋和其他建筑，以及调节食物供给等，做好这类事情需要抽象的数学。数学让实际的问题变得更简单，让我们周围的世界变得更容易掌控。
数学到底有什么用？这个问题问的不仅是数学的实际应用，它首先问的是哲学。所以这本书始于哲学，到最后又回归哲学。许多个世纪以来，数学哲学家们一直在自问——数学到底是什么？它如何运作？他们反而不会过于操心求和、方程之类的事情。这些问题中有一部分还没得到解答，但数学哲学发展至今，已经足以让我们知道，正确的答案看起来应该是什么样子。
不过，和大部分哲学问题一样，你必须确定自己对数学的看法，你觉得哪些答案最有吸引力，以及你对如今人们使用数学的方式是否满意。比如说，脸书是否利大于弊？这个问题我留给你自己来回答。与此同时，我会试着解释，数学在脸书这样的社交服务平台中发挥着怎样的作用，如今我们都很熟悉的弊端为什么会出现，以及这些弊端为什么不能通过简单地改变它们背后的数学理念来解决。

在线试读

第八章  数学的终极之用

数学带来的帮助 
我们已经探讨了两个大问题：是什么让数学变得有用，以及这是否纯属巧合？但是，我们为什么应该以这种方式使用数学？正如我前面讲过的，并非所有事都必须借助数学才能干成。看看皮拉罕人和第二章中介绍的其他文化群落。他们可以在不使用数学的情况下很好地处理数量、形状、社会组织、变化等。如果有人向他们演示了如何制造机器，我敢肯定，他们也能学会所有必要的步骤，然后自己完成。归根结底，机器和建筑里没有数学。人们不需要借助数学也能做成很多事情，只是会难得多。 
数学理念和现实之间结构上的相似性，意味着数学能让我们更简单地解决实际问题。数学简化现实。你只需专注于结构，不必掌握所有细节。我们看不出 21条面包和 22条面包之间的区别，但只要你把它们整齐地排成两行，立刻就能看到其中一行略长了一点。从本质上说，这正是数学给我们带来的帮助。 
以天气为例。长期以来，我们预报天气并不会用到数学，现在我们也可以这样做。我们只需要非常详细地研究当前的天气，然后思考它可能发生什么变化。如果风从东边吹过来，而且我们看到那个方向正在下大雨，那我们可以相当确定，雨快要来了。但要跟踪所有微小的差异和改变非常困难；如此多的变化来得如此迅速，我们就是无法掌握，也肯定没有那么多时间。你固然可以把所有事情记录在一本大书上，然后花100年时间把它们全都弄清楚，但这对任何人都没好处。 
数学帮助我们专注于天气最重要的方面，例如气流以及它们随时间如何变化。当然，我们可以把这些计算交给计算机，这也有帮助，不然我们还是没办法用公式来做天气预报。我们之所以能预报天气，这得感谢微积分。要是没有它，即例是计算机也无法预测天气。 
所以，数学帮助我们的方式是把复杂的事情变得简单。你之所以会使用某种数学方法，是因为数学和现实的结构之间存在相似性。多亏了这样的相似性，你才能忽略现实世界中的细节。你可以让时间停滞，然后慢慢审视天气的所有细节。或者你可以忽略人与人之间的所有差异，只专注于平均收入或政治偏好。这让问题变得好解决多了。
本书中讨论的很多数学正是这样运作的。但有时候，数学发挥的作用也表现在其他方面：它可能带来新的解决方案。我们在第一章中看到了这方面的一些例子。 
数学常常给物理学领域带来惊喜。科学家保罗·狄拉克和奥古斯丁·菲涅耳在算出意料之外的结果后做出了新的发现。和炮弹的例子一样，他们关于粒子和光的实验得出的结果看起来不可思议，但这些结果后来被证明是正确的。数学比我们所以为的更契合现实；它甚至向我们揭示了我们自己还没注意到的事情。 
我们不知道怎么会发生这样的事。数学为什么运转得这么好，这是个未解之谜。事实上，如果它真的这么有用，那我们不应该仅仅是走运而已。数学如何简化问题，我们已经看得比较清楚了，但它如何帮助我们发现新的理论，为什么看起来很奇怪的结果有时候会导向新的发现，这些问题的答案远没有那么明确。但这丝毫不会削弱数学的特殊性。 

在我们的日常生活中也一样 
这些新发现通常出现在科学领域。大多数人可能都不会频繁使用数学，所以没机会亲自见识数学预测的奇怪结果。但即使我们亲自用到数学的机会不多，数学在我们的日常生活中也很有用，因为它让我们周围的世界变得更容易理解。我们离开中学后就不再需要使用微积分，和所有那些我们花费了太多时间盯着看的公式一样，如果够幸运的话，我们几乎永远不会再看到它们。就连我都不需要使用它们，而且我还是个数学哲学家。所以，即使如此，为何我还要一再强调，我们需要对数学有一定的了解？ 
经常间接地与我们发生关系的事物绝不止数学一种。想想汽车发动机和政治，这二者对我们的生活都有重大影响。如果没有轿车，四处活动对我们来说会难得多，而要是没有卡车和小货车，我们购买、使用商品会变得更麻烦。政治也一样。笼统地说，我们大部分人不会直接接触政治，但政治决策影响着我们每一个人。汽车发动机和政治对我们的生活有着间接但深刻的影响。但是，这是否意味着我们必须知道它们如何运作呢？ 
对汽车发动机来说，这样的想法有些疯狂。汽车司机不需要知道他们的车如何运作，他们唯一需要知道的是车能开就行。一台不一样的发动机并不会给你的生活带来太大改变，比如，从汽油车换成电车。你的车一直往前开，经济也一直在运转。它可能更环保，但没有本质上的区别。 
对政治而言，情况就不一样了。小一些的变化，例如一项新的法律是否通过，也会影响到我们的日常生活。所以，我们在学校里都会学习政治体系如何运作。虽然政治有时候可能看起来距离你的日常生活十分遥远，但了解一些政治的运作机制显然十分重要。你固然不会每天跟政治打交道，但这并不意味着了解政治的运作机制就不重要。 
数学也一样，尽管数学的不同领域之间存在差异。那些特别理论化的学科，例如集合论，几乎和日常生活完全无关，所以我在这本书里没有提到它。但即便是我们经常应用在实践中的那些数学领域，它们之间也存在巨大的区别。积分和微分十分重要，但它们更像汽车发动机，而不是政治。如果数学家想出了另一种办法来计算变化，这不会带来多大的问题。甚至还有使用积分和微分的其他方法，但最终用什么方法并不重要。反正它们总会得出同样的天气预报，建好同样的大楼，对选举结果做出同样的预测。重点在于，这种方法有用。至于它具体怎么运作，我们不需要想太多。 
积分和微分的应用如此广泛，了解一点也没什么坏处。我们在很多地方都会遇到微积分，它在今天这个社会的发展中扮演着非常重要的角色。正如我在第五章中说过的，它和历史这门学科有些相似。知道你周围的世界从何而来，为什么事物会呈现出它们现在的样子，这很有用，因为这能给你提供一个更好的视角看待社会。积分和微分也一样。微积分是历史上最有影响力的思想成就之一。所以，哪怕微积分计算的具体细节在我们的日常生活中没有什么直接的重要性，了解一点微积分也很合理。 
从另一个方面来说，统计学对我们的日常生活的确有重大影响。平均收入涨幅的计算方法可能极大地影响计算结果，进而影响我们心目中的社会图景。同样的事情也发生在民意调查、男女收入差距以及科研结果的计算中。统计学可以让海量数据变得更容易理解，从而极大地帮助我们，它还能让我们看到自己可能没注意到的联系。问题在于，统计学很容易被有意或无意地用来扭曲我们看到的世界。 
使用哪种方法，民意调查如何进行，基于什么数据计算平均值，这都会影响我们对世界的看法，进而影响我们做出的决定。因此，要形成我们自己的意见，有能力用批判的眼光看待统计学很重要。要实现这个目标，数学知识至关重要。不是为了亲自计算，而是为了理解它有哪些地方可能出错。统计学在我们日常生活中的价值大得难以估量。 
最后是图论。它也对我们的生活影响重大，因为谷歌和脸书这样的公司用图来决定我们可以看到的信息。正是这个原因，图论的侵略性比统计学强得多。如果谷歌改变了使用图的方式，这可能意味着你会看到完全不同的信息，你可能因此被误导，甚至完全搜不到任何信息。正如我在第七章提过的，谷歌和脸书会把用户装进特定的“泡泡”，确保人们主要接触的都是想法、偏好和自己相似的人。 
图论揭示了我们如何通过谷歌这样的网站获取信息。至少同样重要的是，我们看到了自己反馈的信息会得到怎样的处理。谷歌、脸书和其他互联网公司能用他们搜集的所有这些个人数据来干什么？谁会查看这些信息？这个过程中有哪些部分是非人工、全自动的？这些都是大众十分关切的问题，如果你真想知道答案，就需要理解它们背后的数学。然后你才能讨论什么是可能的，什么是不可能的，人工智能到底如何运作，危险潜藏在什么地方。 
谁有足够的业余时间来做这些？检查每天碰到的每一个数据，时刻关注人工智能所有最新进展，同时还要维持正常生活？谁也做不到，也不需要这样做。只要理解了最基础的东西，你就能走得很远。这足以让你批判地看待某项研究或者某次民意调查出人意表的结果，深入思考智能服务搜集数据的界限。因为，你只需掌握一点点数学知识，就能更好地理解他们会用这些数据干什么。 
数学，当然包括其中比较难的部分，让我们能以更深刻的眼光看待周围的世界。你在日常生活中可能很难遇到任何实际的计算，但是，我也想对 15岁的自己这样说：“你所看到的周围的一切都是数学研究的对象。”形状奇怪的建筑、天气预报、民意调查等基于海量数据的预测，搜索引擎和人工智能——要是你能领会数学的核心理念，你对这些东西的理解都会变得更深入。尤其是现在，世界正在变得越来越复杂，我们需要一些能让它变得不那么令人眼花缭乱的东西。这正是数学的意义，而且数学完成这个任务的方式，往往没有我们以为的那么难以理解。