【繁體】機率思考:大數據時代,不犯錯的決斷武器

最受歡迎與肯定的得獎科學作家，寫給現代讀者的：
◎大數據時代必備的解讀力
◎後真相世界亟需的思辦術

千金難買早知道的恐怖黑天鵝，誰都會遇到──勝出的能力哪裡來？
左右為難的To Be Or Not to Be，你我都會有──決斷的勇氣何處尋？
唯有機率思考，是你不犯錯的武器！

從買樂透到買保險、從看新聞到看醫生
食衣住行、生老病死，風險無所不在！
從當法官到拍電影、從防治天災到拯救世界
權威研究、街論巷議，藏有多少迷思？

面對不確定性，如何做決策？
當資訊超載，如何找真相？

人生在世，有三件事可以確定：一是繳稅；二是死亡；三是我們永遠擺脫不了不確定性和隱伏其中的風險。如何掌握不確定性，進而擁有預測能力，一直是人類不斷在尋求的解答。幸好，現代人面臨這些難題，占星、卜卦已經不是唯一、更不是最好的選擇。因為，對於未知與風險，我們如今已擁有理解、掌握、最終勝出的工具：機率學。

本書取材自生活的日常，以生動活潑的筆觸，解釋機率觀念，揭開其千變萬化的樣貌，幫助讀者理解機率事件，以及它幾乎無所不包、令人大開眼界的精采應用，例如：

◎一場美式足球賽，上場的22名球員，生日相差一日之內的機率有多少？（正確答案絕對高到超乎你的想像！）
◎買樂透，為什麼用電腦選號比人腦選號好？
◎你花小錢買心安的延長保固，為什麼是廠商豐厚的獲利保證？
◎準確率80%以上的癌症檢測驗出陽性，為什麼還可以抱持83%的機率沒有罹癌？
◎東京子彈列車營運超過50年、搭載100億人次，穿梭地表地震最頻繁的地區，卻不曾有任何一名乘客因地震喪生，憑什麼？
◎金融海嘯真是「25個標準差」的罕見事件，人力無可回天？
◎二次世界大戰時，圖靈破解號稱不可能解開的Enigma，關鍵居然是某個「冷僻歪理」？
◎數字確實會說話，但你怎麼知道它是不是在胡說八道？
◎資料探勘正流行，但你確定挖到的是金礦？還是垃圾？

從大數據時代到後真相世界，矛盾詭譎層出不窮，決策的風險日益高漲。不管是個人或群體，唯有對機率、風險和不確定性有更深入而正確的理解，才能培養足夠的思辨能力，擺脫理盲的困境。本書闡述機率學，緊扣理論的新脈動，觀念及應用均與時俱進，正是現代知識公民所需的必備素養。

導  論  敢與上帝擲骰子的魄力
第1章  納粹集中營裡的擲銅板實驗
第2章  藏在常識裡的陷阱
第3章  黃金定理的暗黑秘密
第4章  恐怖新聞？是你頭腦不夠清楚！
第5章  是美麗巧合，還是自欺欺人？
第6章  六顆雙黃蛋的啟示
第7章  樂透彩陰謀論
第8章  電玩會殺人？牛仔褲也是！
第9章  日光之下並無奇事
第10章  沒有頭緒時，「隨機」應變為上
第11章  真實世界不是一座標準實驗室
第12章  群眾智慧，給問嗎？
第13章  破解莊家優勢
第14章  聰明反被聰明誤
第15章  賭博的黃金法則
第16章  買保險？還是碰運氣？
第17章  人生如賭場，要下好注
第18章  醫生，老實說，我有多少機會？
第19章  這不是演習！這不是演習！這不是演習！
第20章  貝牧師的神奇公式
第21章  當圖靈博士遇到貝牧師
第22章  大人，冤枉啊！
第23章  化腐朽為神奇的統計秘密
第24章  別讓數字唬了你
第25章  證據終究會說話
第26章  抱歉，教授，我實在不相信
第27章  神奇的萬有曲線
第28章  常態分配不常有
第29章  醜陋姊妹花與邪惡雙胞胎
第30章  走極端，以測安全
第31章  尼可拉斯・凱吉新片上映期間，泳池勿近
第32章  如果這樣，會怎樣？
第33章  金融市場裡的物理學家
第34章  因為不能簡單，只好順應複雜

◎　　害死人的疫苗？

　　2008年，英國政府決定，13歲以下的女孩要接種人類乳突病毒（HPV）疫苗，以防治子宮頸癌。這項全國計畫受到民眾讚賞，認為每年可拯救數百位女性的生命。然而，計畫推行後不久，媒體似乎有極具說服力的證據，證明這種看法太過樂觀。媒體報導，14歲女孩娜塔莉．摩頓（Natalie Morton）在接種疫苗後數小時死亡。衛生當局的反應是檢查疫苗庫存，回收可能有問題的疫苗。然而，有人覺得這樣做還不夠，要求中止大規模的接種疫苗計畫。

這個要求合理嗎？

　　有些人會堅持引用所謂的「預防性原則」，簡單說就是「小心駛得萬年船」。然而，這裡的風險在於，解決了一個問題，卻製造出另一個問題：計畫喊停雖然能消除接種者死亡的全部風險，子宮頸癌的問題卻仍然沒有解決。此外還有一種風險，是一個值得認識的陷阱。邏輯學家把這個陷阱稱為「後此謬誤」（Post hoc,ergo propter hoc），即「因為發生在後，就以為有因果關係」。以娜塔莉的死亡為例，陷阱就在於有人可能會因為她在接種疫苗後死亡，就認為接種疫苗必然是死因。事情必然是先有因，後有果；然而把這個邏輯反轉過來，卻有其危險：車禍事件的受害者，出發前通通有繫安全帶，但這可不表示繫安全帶會導致車禍。

　　不過，我們姑且設想最糟的狀況：娜塔莉的死亡，真的是對疫苗的不良反應所造成。根據無法無天第一定律，理解這類事件的最佳方式是著眼於相關比例，而不是個別案例。這個事件的相關比例是多少？娜塔莉死亡時，已有130萬名女孩接種了同樣的疫苗，這表示死亡事件的相對頻率，大約是100萬分之1。這個比例說服了英國政府，儘管面對反接種人士的抗議，還是在把可能有問題的疫苗回收後，繼續推動這項計畫。若娜塔莉果真是對疫苗產生罕見反應而喪命，政府採取的回應行動也屬合理。

　　娜塔莉的驗屍結果顯示，她的胸部有惡性腫瘤，死亡與接種疫苗無關。因此，娜塔莉的死亡不是罕見的疫苗反應，是媒體落入了後此謬誤的陷阱。即使如此，當局回收可能有問題的疫苗，而不是撤銷整個計畫，是正確的做法。當然，這不一定就是真相。娜塔莉可能是原發病例，是疫苗測試時未曾出現過的反應。深入研究這個案例的成因，尋找是否可能會出現更多案例的證據，顯然是正確的做法。

　　我們不應過度受個別案例影響，而是應該注意相對頻率，並在正確的脈絡下看待這類案例。只因為發生少數一次性事件，就決心做些「改善」的經理人、行政主管與政治人物，可以從這個案例學到更多課題。他們若忽略了這點，等於甘冒因極罕見事件而採取行動的風險。更糟的是，他們可能會根據罕見案例的「改進」，對同樣很少的資料組進行測試，又把注意力放在原始次數而非相對頻率，從而得出錯得離譜的結論。從頻繁發生的客訴到員工建議全盤改變工作方法，全都可能起因於少數不見得重要的傳聞。
◎　　受到神秘詛咒的公司？

　　1980年代，位於英國的國防包商馬可尼通用電氣（GEC-Marconi），因為一連二十多起技術人員自殺、死亡與失蹤案件，成為媒體報導焦點。開始有人提出陰謀論，而有些受害人參與機密計畫的事實，更使得這種論調甚囂塵上。雖然這些傳聞很引人入勝，不過我們應該無視於小道消息，把注意力放在相對頻率上。在這個案例中，就是比較馬可尼發生特殊事件，以及預期一般大眾發生特殊事件的相對頻率。

　　一經比較就會發現，馬可尼是一家員工超過三萬人的大型公司，而那些死亡案例是在八年內陸續發生的；這表示以馬可尼的規模，那些「神秘」的死亡和失蹤案，也許並不值得大驚小怪。最起碼警方的後續調查結論就如此，不過陰謀論一直到今日還未平息。

　　平心而論，媒體近來已經開始注意比較相對頻率的重要性。2010年，法國電信公司（France Telecom）登上頭版，因為它在2008年到2009年間，發生了30起自殺案件，次數媲美馬可尼。2014年，這家當時已改名為橘子電信（Orange Telecom）的公司，短短數個月內又出現10起自殺案，舊帳也因此再被翻出來。這一回的解釋是工作壓力，不過與報導馬可尼案件時截然不同的是，有些記者提到了第一定律的關鍵問題：以一家員工約100,000人的大型公司，這些自殺案件的發生頻率（而不是發生次數），是否真有異常？

　　然而這就引出一個棘手問題：該用什麼樣的相對頻率比較才適當？以橘子電信來說，是用全國自殺率（法國的自殺率是出名地高，比歐盟平均值高出40％）？還是用某個特定數字，如某個年齡層的自殺率（在法國，自殺是25歲到34歲的主要死因）？或是採用某個社經族群的自殺率？橘子電信案件尚未裁決；有人說這可能是統計上的異常，有人則堅稱工作壓力是自殺的真凶。真相很有可能永遠無法大白。

　　無論真相如何，要解讀這類問題，應該要從相對頻率著手。舉凡政府公共衛生運動、跨國企業聘僱員工等任何事，只要牽扯的人夠多，就有成為頭條新聞的潛能，儘管佐證的事件看似有說服力，究其實卻沒有太大意義。
◎　　百慕達奇案解秘

　　解讀詭異言論和陰謀論時，相對頻率特別管用。就以惡名昭彰的百慕達三角為例。百慕達三角位於西大西洋，船隻和飛機經常在那裡失蹤。自1950年代以來，有無數報告指出，船隻飛機一旦進入由邁阿密、波多黎各和百慕達島所構成的三角形區域，就厄運難逃。世人提出許多理論解釋這些事件，從幽浮攻擊到瘋狗浪都有。

　　現在，不要著眼於「離奇」失蹤的原始次數，而是要和大西洋其他區域發生失蹤案件的相對頻率比較。如此一來，你就會驚奇地發現：所有那些原因不明的失蹤案件，完全有可能發生。

　　每年有數萬艘船隻飛機，穿越這塊廣達100萬平方公里的領空和海域，即使把所有無法解釋的怪事都算進來，百慕達三角甚至擠不進全世界十大危險海洋區。世界知名保險集團勞合社（Lloyd’s of London）精明的保險精算師，當然不會因為百慕達「離奇」傳聞的原始次數而不安。他們並沒有因為船隻或飛機勇闖百慕達而加收保險費用。

◎　　破解鐵達尼預言

關於1912年4月的鐵達尼號（Titanic）事件，有人說早在船難發生的14年前，已經有一本書精準預言種種細節：美國作家摩根．羅伯森（Morgan Robertson）1898年出版的短篇故事〈徒勞無功〉（Futility），敘述一個名叫約翰．羅蘭德（John Rowland）的甲板水手故事；他在史上最大艘船隻上工作，4月某個夜晚，船在於北大西洋撞上冰山沉沒，造成重大死傷。猜猜看這艘船叫什麼名字？「泰坦號」（SS Titan，意為「巨無霸」）。

　　兩件事的雷同之處不只於此。在羅伯森筆下，這艘船全長240公尺，跟鐵達尼號差不多；它被譽為「不沉之船」；而船上搭載的救生艇，不到船上人員所需的一半；它甚至跟鐵達尼號一樣，都是右舷撞上冰山。

　　這一連串的巧合當然令人驚嘆，讓人不禁懷疑羅伯森寫作本書時，是否感應到什麼預兆。也許他真的有所感應，但還不如說故事劇情正好展現非獨立事件會造成何等的巧合。〈徒勞無功〉發表時，國際間已經展開打造巨無霸客輪的比賽，競逐頒給最快速大西洋客輪的藍絲帶獎（Blue Riband）。十九世紀最後十年，最大型的船隻已從全長大約170公尺，增加到遠超過200公尺，因此240公尺顯然並非不可能。至於這種龐然大物會發生什麼大災難，當時已有人發覺冰山會是一大威脅。至於救生艇數量不足的問題，當時也有人提出警告，相關規範未能跟上船隻規模迅速增長的速度。此外，撞上冰山的是左舷還是右舷，猜對的機率顯然是一半。至於羅伯森為筆下厄運纏身之船所選的名字，也沒什麼好訝異：如果要為一艘巨無霸船隻取個響亮的名號，「泰坦號」顯然會比「侏儒號」之類的名字更容易出線。

　　簡而言之，羅伯森想寫一個巨船的船難悲劇故事，故事要寫得逼真，多少會納入與鐵達尼號相近的事件跟特徵。因此他的寫作在選材上，根本就不是隨機的獨立事件。
◎　　一個錯誤模型，一場世紀金融災難

　　美國投資銀行高盛歷經150多年的歷史，什麼大風大浪都見過。經濟繁榮、金融崩潰、股票泡沫、全球衰退……無論碰上什麼危機，高盛總是能夠安然度過。但是在2007年8月，它卻一頭撞上堪稱金融界冰山群的危機，不得不對兩檔基金注資超過20億美元，免得它們沉入海底。高盛財務長大衛．維尼亞（DavidViniar）當天告訴記者的話，已是金融行家圈的名言：「我們已經連續好幾天，看到25個標準差的波動。」

　　就算是最資深的量化分析師，也無法理解維尼亞口中所說的25個標準差事件。這類事件實在太過奇特，就連標準公式也無法處理，必須經過特殊處理，才能在報表上把極低的機率打出來。當數據處理好，答案卻令人訝異：根據他們聲稱，他們碰上的是平均每隔10的135次方年才會碰上一次的事件。這甚至已經超越天文數字了，因為這令人無法想像的時間尺度，甚至比宇宙生成還要久。而且，據維尼亞所言，高盛還不只碰到一次，是碰到好幾次。

　　沒錯，極罕見的事件有可能、也確實會發生，但是一連幾件同時報到，你不禁猜想，算出這些機率的方法，是不是哪裡出了問題？要計算這些機率，需要用到該事件所謂的或然率分配（probability distribution）；或然率分配有各種形狀跟大小，不過在金融界裡，每個人幾乎都不加思索，直接採用「鐘形曲線」。為什麼不？畢竟鐘形曲線不就是「常態分配」嗎？

　　維尼亞發表這段聲明的將近一個世紀前，假設事情「遵循常態」的概念開始流行時，就已經有人對此表示擔憂。1901年，英國統計學家卡爾．皮爾森（Karl Pearson）率先檢驗聲稱無所不在的鐘形曲線，發現證據並不是很有說服力。他寫道：「我只能說，常態曲線……是極反常的現象。」

　　維尼亞的聲明為全球金融危機與衰退揭開序幕，衝擊在多年後仍然有感。這也引發了對於常態分配假設的激烈辯論，但這種辯論不是頭一遭。早在數十年前，就有明確的證據顯示，金融市場的表現並不符合常態分配。 備受景仰的英國財金數學家保羅．威摩特（Paul Wilmott），在2000年就試著警告他的量化分析同儕，危險何在：「很明顯地，世界若要免於遭受肇因於數學家的市場崩解，我們亟需重新思考……模型背後的假設，如常態分配的重要性、消除風險、可量測的相關性，這些可能都是不正確的。」

　　言者諄諄，聽著藐藐。金融機構甚至賭更大，拿數學模型為他們的曝險部位背書。素來以「條款與細則」約束客戶的金融機構，似乎既不知道、也不在乎鐘形曲線的使用條款與細則。

　　美國國庫券市場在2014年10月，經歷了單日7.5個標準差的波動後，摩根大通執行長傑米．迪蒙（Jamie Dimon）告訴股東，這種事件理應幾十億年才會發生一次，但他緊接著就補上一句但書：美國國庫券市場也不過才200年左右的歷史，「這點應該會讓你們開始質疑，統計原理是不是有問題。」

（以上摘錄自本書第4、6和28章，更多精采內容，請詳閱全書）